数学与信息科学学院王艳青副教授在Navier-Stokes方程和Euler方程的正则性与能量守恒上取得了系列进展

近期，数学与信息科学学院王艳青副教授及偏微分方程团队在Navier-Stokes方程和Euler方程的正则性与能量守恒上取得了系列进展，相关结果发表在国际著名数学期刊《Journal of Differential Equations》（JCR一区，IF=2.4）、《Journal of Nonlinear Science》（JCR一区，IF=2.6）、《Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics》（JCR一区，IF=1.009）、《Proceedings of the American Mathematical Society》（JCR二区，IF=0.8）上。

1. 表面生长模型弱解的能量耗散

表面生长模型来源于分子束外延过程，该方程与三维不可压缩Navier-Stokes方程具有相似的数学结构，本文给出了由于表面生长模型弱解缺少正则性而导致的能量耗散项，利用该能量耗散项回答了Yang[J. Differential Equations，283, 2021]关于表面生长模型弱解的能量等式所提出的问题。此外，研究中首次揭示了Duchon和Robert在[Nonlinearity，13 ,2000]中推导的不可压缩Navier-Stokes方程的能量耗散项与法国科学院院士J. Lions在1960年推导的弱解能量守恒准则之间的关系，给出了Duchon和Robert的能量耗散项的第六种应用。该研究成果以题名“Energy dissipation of weak solutions for a surface growth model”（表面生长模型弱解的能量耗散）发表在微分方程领域国际著名期刊《Journal of Differential Equations》上，该成果以开云网页版登录入口-开云（中国）为第一单位，王艳青为第一作者，与魏巍（西北大学）、叶嵎林（河南大学）、于幻（北京信息科技大学）共同合作完成。

2. 不可压缩Euler方程弱解的能量和螺旋度守恒

Euler方程的能量守恒与Onsager猜想密切相关。1994年，Constantin-E-titi解决了Euler方程弱解在次临界Besov空间下的Onsager猜想；2008年，Cheskidov-Constantin-Friedlander-Shvydkoy在临界的Besov空间下解决了Euler方程弱解的Onsager猜想。本研究充分利用Euler方程弱解的动能，分别在周期和全空间区域上，推广Cheskidov-Constantin-Friedlander-Shvydkoy的经典结果，并将其应于无粘极限中的能量守恒问题。该研究成果以题名“On the Energy and Helicity Conservation of the incompressible Euler Equations”（有关不可压Euler方程的能量和螺旋度守恒）发表在非线性科学领域著名期刊《Journal of Nonlinear Science》上，该成果以开云网页版登录入口-开云（中国）为第一单位，王艳青为第一作者，与吴刚（中国科学院大学）、魏巍（西北大学）、叶嵎林（河南大学）共同合作完成。

3. 不可压缩Navier-Stokes方程适当弱解的正则性

三维不可压缩Navier-Stokes方程的正则性问题是著名的千禧年百万美元问题之一。本工作利用Caffarelli–Silvestre调和扩张，建立了适当弱解新的小能量正则性准则，回答了Robinson 和 Sadowski 在[Commun. Math. Phys., 505, 2010]中所提出的有关三维Navier-Stokes方程适当弱解的可能奇异点的四个问题。该成果以题名“Fractal dimension of potential singular points set in the Navier–Stokes equations under supercritical regularity”（Navier-Stokes方程在超临界正则性下的适当弱解可能奇异点集的分形维数）发表在著名数学期刊《Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics》上，该成果以开云网页版登录入口-开云（中国）为第一单位，王艳青为第一作者，与吴刚（中国科学院大学）共同合作完成。

4. 电磁流体方程守恒量的Hölder连续性

电磁流体方程的非线性项为Hall项，不同于经典的不可压缩Euler方程的对流项。本研究给出了电磁流体方程解在时间方向上的Hölder连续性与空间Hölder连续性的关系，并证明了当电磁流体方程解在空间上具有Besov正则性时，蕴含着能量和磁螺旋度在时间方向上的Hölder连续性。该成果以题名“Hölder regularity of solutions and physical quantities for the ideal electron magnetohydrodynamic equations”（无粘电磁流体物理守恒量的Hölder连续性）发表在中国数学会T2期刊《Proceedings of the American Mathemetical Society》上，该成果以开云网页版登录入口-开云（中国）为第一单位，由数学与信息科学学院偏微分方程团队成员王艳青、何国亮以及北京工业大学刘继涛教授共同完成。

以上研究得到了国家自然科学基金面上项目和河南省优秀青年基金等项目的支持。